Цепи постоянного тока

Сложные цепи. Применение законов Кирхгофа

Предположим, перед нами стоит задача по расчету сложной электрической цепи, состоящей из k узлов, l ветвей и m идеальных источников тока (под идеальным источником тока подразумевается такой источник тока, для которого Rт равен бесконечности). Суть метода сводится к решению системы линейных уравнений c l неизвестными. В качестве неизвестных выступают токи ветвей. Решив такую систему мы получим значения токов во всех ветвях электрической цепи, зная которые очень просто рассчитать все другие параметры цепи (напряжения на отдельных элементах, мощность и т.д.)

Перед началом расчета будет нелишним, по возможности, упростить электрическую схему с целью уменьшения количества ветвей. Это может существенно упростить расчеты и уменьшить вероятность ошибки. Например, решение системы линейных уравнений с 4 неизвестными гораздо проще решения системы с 5 неизвестными.

Порядок расчета цепей, связанный с использованием законов Кирхгофа следующий:

  1. Выбирают положительные направления токов в ветвях электрической цепи.
  2. Составляют (k-1) независимых уравнений по первому закону Кирхгофа. Уравнения составленные по первому закону Кирхгофа гораздо проще уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Поэтому их составляют максимально возможное количество.
  3. Выбирают (l-k+1-m) независимых контуров электрической цепи. Контуры необходимо выбирать так, чтобы в них вошли все ветви схемы. Контуры взаимно независимы, если каждый последующий выбираемый контур содержит не менее одной новой ветви.
  4. Для каждого из выбранных независимых контуров выбирают направления обхода и составляют уравнение по второму закону Кирхгофа.
  5. Решают систему из (l-m) линейных уравнений любым удобным способом.

Более наглядно методика составления системы уравнений для данного способа расчета сложных электрических цепей показана на рисунке ниже.
Метод уравнений Кирхгофа
На рисунке изображена схема сложной электрической цепи, содержащей 4 узла и 6 ветвей (k=4, l=6). Для расчета цепи необходимо составить систему из 6 линейных уравнений. Предварительно выберем направления токов в каждой из ветвей. По первому закону Кирхгофа (формула 1.20) составляем 3 уравнения (k-1=4-1=3), например для узлов A, B и C. Вместо любого из этих узлов для составления уравнения можно взять узел D, на результат расчетов это не повлияет. Оставшиеся 3 уравнения (l-k+1-m=6-4+1-0=3) придется составлять по второму закону Кирхгофа.

Для этого выбираем 3 независимых контура электрической цепи и для каждого из них выберем направление обхода. Составляем для каждого выбранного контура уравнение по второму закону Кирхгофа (формула 1.21). Получаем систему из 6 линейных уравнений с 6 неизвестными, которую и решаем любым удобным способом. Более подробный расчет данной схемы в сочетании с численным расчетом системы уравнений приведен в примере №9.

Использование данной методики расчета сложных электрических цепей для других схем можно рассмотреть на примере №7 и на примере №8.